Множество важнейших процессов (нелинейное усиление, модуляция, детектирование, генерация, умножение, деление и преобразование частоты) осуществляется в радиоэлектронных устройствах с помощью нелинейных и параметрических цепей.

В общем случае анализ процесса преобразования сигналов в нелинейных цепях весьма сложная задача, что связано с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от ее параметров при подключении нескольких источников. Однако исследование нелинейных цепей удается осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное установление отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных нелинейных элементов практически не существует. Все нелинейные элементы – диоды, транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам и их удается идеализировать с точки зрения их безынерционности.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.2.1. Согласно этой схемы, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключен фильтр (линейная цепь).

Рисунок. 2.1. Структурная схема нелинейного устройства.

В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями. В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяя нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала.. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществить требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией, которую в общем виде можно записать так:

U вых (t)=f

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ наиболее удобно в качестве воздействия рассматривать входное напряжение U вх (t), а отклика – выходной ток i вых (t), связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:

i вых (t)=f

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольт-амперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладают и нелинейный двухполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольт-амперные характеристики (для нелинейных элементов их получают экспериментально0 большинства нелинейных элементов имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. В радиоэлектронных устройствах широко используются аналитические методы представления нелинейных характеристик различных приборов относительно простыми функциями (или их набором), приближенно отражающими реальные характеристики. Нахождение аналитической функции по экспериментальной характеристике нелинейного элемента называется аппроксимацией. Существуют несколько способов аппроксимации характеристик – степенная, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломанная аппроксимация). Наибольшее распространение получили аппроксимация степенным полиномом и кусочно-линейная аппроксимация.

Аппроксимация степенным полиномом. Данный вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах (как правило, доли вольта) входных сигналов в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т.е. кривая и ее производные непрерывны и не имеют скачков. Наиболее часто при аппроксимации в качестве степенного полинома используется ряд Тэйлора

i(u)=a o +a 1 (u-U o)+a 2 (u-U o) 2 +…+a n (u-U o) n , (2.1)

где a o , a 1 ,… a n – постоянные коэффициенты; U o – значение напряжения u, относительно которого ведется разложение в ряд и называемое рабочей точкой. Отметим, что здесь и далее аргументt у функций тока и напряжения для упрощения опущен. Постоянные коэффициенты ряда Тэйлора определяются известной формулой

Оптимальное число членов ряда берется в зависимости от трубуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем точнее аппроксимация. Аппроксимацию характеристик обычно удается достаточно точно осуществить полиномом не выше второй – третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда необходимо задаться диапазоном U 1 , U 2 нескольких возможных значений напряжения u и положением рабочей точки U o в этом диапазоне. Если требуется определить n коэффициентов ряда, то на заданной характеристике выбирается n+1 точек со своими координатами (i n ,u n). Для упрощения расчетов одну точку совмещают с рабочей точкой U o , имеющей координаты (I o , U o); еще две точки выбираются на границах диапазона u=U 1 и u=U 2 . Остальные точки располагаются произвольно, но с учетом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в формулу (2.1), составляют систему их n+1 уравнений, которая решается относительно неизвестных коэффициентов a n ряда Тэйлора.

Рис.2.2. Аппроксимация характеристики транзистора степенным полиномом.

Пример 2.1. На рис. 2.2 штриховой линией представлена входная характеристика I б =f(U бэ) транзистора КТ601А. Аппроксимировать заданную характеристику транзистора в диапазоне 0,4…0,8 В полиномом Тэйлора второй степени i б =a o +a 1 (u бэ -U o)+a 2 (u бэ -U o) 2 относительно рабочей точки U o =0,6 В.

Решение . Для упрошения расчетов в качестве точек аппроксимации выберем значения напряжений на границах диапазона и в рабочей точке, т.е. 0,4; 0,6 и

0,8 В. Поскольку выбранным точкам соответствуют токи 0,1; 0,5 и 1,5 мА, то для заданного полинома получим следующую систему уравнений:

0,1=a o + a 1 (0.4-0.6)+ a 2 (0.4-0.6) 2 = a o -0.2a 1 +0.04 a 2

0.5= a o + a 1 (0.6-0.6)+ a 2 (0.6-0.6) 2 = a o

1.5= a o + a 1 (0.8-0.6)+ a 2 (0.8-0.6) 2 = a o +0.2a 1 +0.04 a 2

Решение этой системы уравнений дает значения коэффициентов a o =0,5 мА, a 1 =3,5 мА/В, a 2 =7,5 мА/В 2 . Подставив их в формулу (2.1), находим аппроксимирующую функцию (ее график показан на рисунке сплошной линией): i б =0.5+ 3.5(u б -0.6)+7.5(u б -0.6) 2 .

Кусочно-линейная аппроксимация. В большинстве практических случаев, когда на нелинейный элемент радиоэлектронной цепи воздействует входной сигнал значительный амплитуды, реальную вольт-амперную характеристику нелинейного элемента можно аппроксимировать кусочно-линейной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых с различными углами наклона к оси абсцисс. Данная аппроксимация связана непосредственно с двумя важными параметрами нелинейного элемента – напряжением начала характеристики Е н и ее крутизной S. В общем случае дифференциальная крутизна характеристики в рабочей точке определяется отношением приращения тока к приращению напряжения, и при малых их значениях имеем

Уравнение отрезка прямой при кусочно-линейной аппроксимации характеристики записывается в виде:

i={ 0, u

i={ S(u-E н), u>E н (2.4)

Во многих радиотехнических устройствах характеристику нелинейного элемента, к которому подводится сигнал большой амплитуды, удается с приемлемой точностью аппроксимировать лишь двумя отрезками прямых линий.

Пример 2.2. Экспериментально снятая входная характеристика I б =f(U бэ) транзистора КТ601А представлена на рис. 2.3. штриховой линией. Выполнить кусочно-линейную аппроксимацию данной характеристики в окрестности рабочей точки U o =0,6 В.

Решение . В соответствии с заданной вольтамперной характеристикой транзистора находим, что величина тока в рабочей точке I о =0,5 мА. Крутизну характеристики в рабочей точке вычислим приближенно по формуле (2.3). Задав линейное приращение напряжения ∆u бэ = 0.8 - 0.6 = 0.2 B, находим приращение тока ∆i б =

1.5-0.5=1 мА. Тогда S=∆i б /∆u б =1/0.2=5 мА/В.

Рис.2.3. Кусочно-линейная аппроксима- ция характеристики транзистора.

В результате проведенной аппроксимации характеристики ток базы транзистора в окрестности рабочей точки с координатамиI о =0,5 мА, U o =0,6 В. Определится как: i б =0,5+5(u бэ -0,6)=5(u бэ -0,5).

Из этой формулы следует, что при u бэ <0,5 В ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения u бэ >0,5 В. Если же входное напряжение u бэ <0,5 В, то можно принять i б =0. Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рисунке), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде:

i={ 0, u бэ <0,5

i={ 5(u бэ -0,5), u бэ >0,5

Повышение точности аппроксимации характеристик нелинейных элементов достигается увеличением количества отрезков линий. Однако это усложняет аналитическое выражение аппроксимирующей функции.

Лекция №9.

Похожая информация.

Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время для анализа и расчета цепей необходимо аналитическое представление характеристик, т.е. представление в виде достаточно простых функций. Процесс составления аналитического выражения для характеристик, представленных графически или таблично, называется аппроксимацией.

При аппроксимации решаются следующие проблемы:

1. Определение области аппроксимации, которая зависит от диапазона изменения входных сигналов.

2. Определение точности аппроксимации. Понятно, что аппроксимация дает приблизительное представление характеристики в виде какого-либо аналитического выражения. Поэтому необходимо количественно оценить степень приближения аппроксимирующей функции к экспериментально определенной характеристике. Чаще всего используются:

показатель равномерного приближения – аппроксимирующая функция не должна отличаться от заданной функции более чем на некоторое число , т.е.

показатель среднего квадратического приближения – аппроксимирующая функция не должна отличаться от заданной функции в среднем квадратическом приближении более чем на некоторое число , т.е.

узловое приближение (интерполяционное) – аппроксимирующая функция должна совпадать с заданной функцией в некоторых выбранных точках.

Существуют различные способы аппроксимации. Наиболее часто для аппроксимации ВАХ применяют аппроксимацию степенным полиномом и кусочно-линейную аппроксимацию, реже – аппроксимацию с использованием показательных, тригонометрических или специальных функций (Бесселя, Эрмита и др.).

7.2.1. Аппроксимация степенным полиномом

Нелинейную вольт-амперную характеристику в окрестности рабочей точки представляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:

Количество членов ряда определяется требуемой точностью аппроксимации. Чем больше членов ряда, тем точнее аппроксимация. На практике необходимой точности добиваются, используя аппроксимацию полиномами второй и третьей степени. Коэффициенты – это числа, которые достаточно просто определяются из графика ВАХ, что иллюстрируется примером.

Пример.

Аппроксимировать представленную на рис. 7.1,а ВАХ в окрестности рабочей точки степенным полиномом второй степени, т.е. полиномом вида

Выберем область аппроксимации от 0,2 В до 0,6 В. Для решения задачи необходимо определить три коэффициента . Поэтому ограничимся тремя узловыми точками (в середине и на границах выбранного диапазона), для которых составляем систему трех уравнений:

Рис. 7.1. Аппроксимация ВАХ транзистора

Решая систему уравнений, определяем , , . Следовательно, аналитическое выражение, описывающее график ВАХ, имеет вид

Заметим, что аппроксимация степенным полиномом используется в основном для описания отдельных фрагментов характеристик. При значительных отклонениях входного сигнала от рабочей точки точность аппроксимации может значительно ухудшиться.

Если ВАХ задана не графически, а какой-либо аналитической функцией и возникла необходимость представить ее степенным полиномом, то коэффициенты вычисляются по известной формуле

Нетрудно заметить, что представляет собой крутизну ВАХ в рабочей точке. Значение крутизны существенно зависит от положения рабочей точки.

В некоторых случаях удобнее характеристику представлять рядом Маклорена

7.2.2. Кусочно-линейная аппроксимация

Если входной сигнал изменяется по величине в больших пределах, то ВАХ можно аппроксимировать ломаной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых. На рис. 7.1,б показана ВАХ транзистора, аппроксимированная тремя отрезками прямых.

Математическая формула аппроксимированной ВАХ

Данный вид аппроксимации связан с двумя важными параметрами нелинейного элемента: напряжением начала характеристики и ее крутизной . Для увеличения точности аппроксимации увеличивают количество отрезков линий. Однако это усложняет математическую формулу ВАХ.

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в нелинейных приборах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает. При этом во-первых, делается выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зависимости и аппроксимирующей ее функции.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные, экспоненциальные и трансцендентные функции или совокупность линейных функций (отрезков прямых линий).

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F (u ) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U min ≤ и ≤ U max , и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирующей функцией f (x ).

О близости аппроксимирующей f (x ) и аппроксимируемой ξ(х ) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b , т. е. по величине

Λ = max ‌‌ │ f (x )- ξ(x )│

Часто критерием близости выбирается среднее квадратичное значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации.

Иногда под близостью двух функций f(x ) и ξ(x ) понимают совпадение в заданной точке

x = Хо самих функций и п + 1 их производных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функций f(x ) и ξ(x ) в выбранных точках (узлах интерполяции) X k , k = 0, 1, 2, ..., п.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик электронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = F (u ) в пределах ее рабочего интервала. Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем на этой основе формируются справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое выражение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции.

Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.

Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n +1) точек на заданной функции и составляется система уравнений:

Из этой системы находятся коэффициенты а 0 , а 1 , а 2 , …, а n .

В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома).

Можно использовать экспоненциальный полином:

Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору . В этом случае выбирается одна точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные.

Аппроксимация по Батерворту : выбирается простейший полином:

В этом случае можно определить максимальное отклонение ε на краях диапазона.

Аппроксимация по Чебышеву : является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. В теории аппроксимации функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f (x ) степени п от непрерывной функции ξ(х ) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность

f (x ) - ξ(х ) не меньше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиесяпредельные наибольшие f (x ) - ξ(х ) = L > 0 и наименьшие f (x ) - ξ(х ) = - L значения (критерий Чебышева).

Во многих прикладных задачах находит применение полиномиальная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близости, когда параметры аппроксимирующей функции f (x ) выбираются из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b квадрата отклонения функции f (x ) от заданной непрерывной функции ξ(х ), т. е., из условия:

Λ= 1/b-a∫ a [f (x )- ξ(x )] 2 dx = min . (7)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов a k аппроксимирующего полинома f (x ), т. е. уравнений

д Λ ∕ д a 0 =0;д Λ ∕ д a 1 =0;д Λ ∕ д a 2 =0, . . . ,д Λ ∕ д a n =0. (8)

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное решение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае - численно.

Чебышев установил, что должно для максимальных отклонений выполняться равенство:

В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация – это описание заданной кривой отрезками прямых линий.

В пределах каждого из линиаризированных участков вольт-амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелинейных резистивных цепях аппроксимируемая вольт-амперная характеристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью представляется двумя или тремя отрезками прямых.

Подобная аппроксимация вольт-амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нелинейной резистивной цепи при «небольших» по величине воздействиях на нелинейный элемент, т. е. когда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I н

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт - амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в нелинейных приборах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) называется аппроксимацией. При этом во-первых, делается выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зависимости и аппроксимирующей ее функции.

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = fun(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U min ≤ и ≤ U max , и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирующей функцией f (x ).

О близости аппроксимирующей f (x )и аппроксимируемой ξ(х )функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b, т. е. по величине

Δ= max‌‌│ f (x )- ξ(x )│

Иногда под близостью двух функций f(x )и ξ(x ) понимают совпадение в заданной точке

x = Хо самих функций и п + 1 их производных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функций f(x )и ξ(x ) в выбранных точках (узлах интерполяции) X k , k = 0, 1, 2, ..., п.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик электронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = f (u )в пределах ее рабочего интервала. Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем на этой основе формируются справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое выражение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции.

Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.

Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n+1) точек на заданной функции и составляется система уравнений:

Из этой системы находятся коэффициенты а 0 , а 1 , а 2 , …, а n .

Можно использовать экспоненциальный полином:

Аппроксимация по Батерворту : выбирается простейший полином:

В этом случае можно определить максимальное отклонение ε на краях диапазона.

Аппроксимация по Чебышеву : является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. В теории аппроксимации функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f (x )степени п от непрерывной функции ξ(х ) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность

f(x ) - ξ(х ) не меньше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся предельные наибольшие f (x ) - ξ(х ) = L > 0 и наименьшие f (x ) - ξ(х ) = -L значения (критерий Чебышева).

Λ= 1/b-a∫ a [f (x )- ξ(x )] 2 dx = min . (7)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов a k аппроксимирующего полинома f (x ), т. е. уравнений

дΛ ∕дa 0 =0; дΛ ∕дa 1 =0; дΛ ∕дa 2 =0, . . . , дΛ ∕дa n =0. (8)

Чебышев установил, что должно для максимальных отклонений выполняться равенство:

В пределах каждого из линиаризированных участков вольт - амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелинейных резистивных цепях аппроксимируемая вольт - амперная характеристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью представляется двумя или тремя отрезками прямых.

Подобная аппроксимация вольт - амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нелинейной резистивной цепи при «небольших» по величине воздействиях на нелинейный элемент, т. е. когда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I мах

ЛЕКЦИЯ № 16

АППРОКСИМАЦИЯ ВАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕДИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Учебные вопросы

1. Аппроксимация ВАХ нелинейных элементов. Полиномиальная аппроксимация.

2. Кусочно-линейная аппроксимация.

3. Классификация методов анализа нелинейных цепей.

4. Аналитические и численные методы анализа нелинейных цепей постоянного тока.

7. Ток в нелинейном резисторе при воздействии синусоидального напряжения.

8. Основные преобразования, осуществляемые с помощью нелинейных электрических цепей переменного тока.

1. Аппроксимация вольт-амперных характеристик нелинейных элементов

Вольт-амперные характеристики реальных элементов электрических цепей обычно имеют сложный вид и представляются в виде графиков или таблиц экспериментальных данных. В ряде случаев непосредственное применение ВАХ, задаваемых в такой форме, оказывается неудобным и их стремятся описать с помощью достаточно простых аналитических соотношений, качественно отражающих характер рассматриваемых ВАХ.

Замена сложных функций приближенными аналитическими выражениями называется аппроксимацией .

Аналитические выражения, аппроксимирующие ВАХ нелинейных резистивных элементов, должны как можно более точно описывать ход реальных характеристик.

Следовательно, задача аппроксимации ВАХ включает в себя две самостоятельные задачи:

1) выбор аппроксимирующей функции;

2) определение значений входящих в эту функцию постоянных коэффициентов наиболее часто используются два вида аппроксимации ВАХ нелинейных элементов:

Полиномиальная;

Кусочно-линейная.

1.1. Полиномиальная аппроксимация

Аппроксимация степенным полиномом выполняется на основе формулы ряда Тейлора для ВАХ НЭ:

т.е. ВАХ в данном случае должна быть непрерывной, однозначной и абсолютно гладкой (должна иметь производные любого порядка).

В практических расчетах обычно ВАХ не дифференцируют, а требуют, например, чтобы аппроксимирующая кривя (16.5) прошла через заданные токи.

В так называемом методе трех точек необходимо, чтобы некоторые три точки ВАХ:

(i 1 , u 1), (i 2 , u 2), (i 3 , u 3) – отвечали номиналу (16.5) (рис.16.9).

Из уравнений

несложно найти искомые коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , поскольку относительно их система (16.6) линейна.

Если ВАХ сильно изрезана и требуется отразить ее особенности, необходимо учитывать большее число точек ВАХ. Система типа (16.6) становится сложной, однако ее решение может быть найдено по формуле Лагранжа, определяющей уравнение полинома, проходящего через n точек:

(16.7)

где A k (u ) = (u – u 1) ... (u – u k-1) (u – u k+1) ... (u – u n).

Пример . Пусть нелинейный элемент имеет ВАХ, заданную графически (рис.16.10).

Требуется аппроксимировать ВАХ ИЭ степенным полиномом.

На графике ВАХ выделяются четыре точки с координатами:

На основании формулы Лагранжа (16.7) получим

Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид

и нэ = -6,7i 3 + 30i 2 – 13,3i .

2. Кусочно-линейная аппроксимация

При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ НЭ аппроксимируетсясовокупностью линейных участков (кусков) вблизи возможных рабочих точек.

Пример . Для двух участков нелинейной ВАХ (рис.16.11) получим:

Пример . Пусть требуется линеаризировать участок ВАХ между токамиА иВ , который используется в качестве рабочей области около рабочей точкиР (рис.16.12).

Тогда уравнение линеаризированного участка ВАХ вблизи рабочей точки Р будет