Под энергией сигнала иЦ) понимают величину

Если сигнал имеет конечную длительность Т, т.е. не равен нулю на отрезке времени [-Т/ 2, Т/ 2], то его энергия

Запишем выражение для энергии сигнала, используя формулу (2.15):

где

Полученное равенство называется равенством Парсеваля. Оно определяет энергию сигнала через временную функцию или спектральную плотность энергии, которая равна |5(/0))| 2 . Спектральная плотность энергии называется также энергетическим спектром.

Рассмотрим сигнал, существующий на ограниченном интервале времени. К такому сигналу применимо равенство Парсеваля. Следовательно,

Разделим левую и правую части равенства на интервал времени, равный Г, и устремим этот интервал к бесконечности:

С увеличением Т энергия незатухающих сигналов возрастает,

однако отношение может стремиться к определенному пределу. Этот предел называется спектральной плотностью мощности С(со). Размерность спектральной плотности мощности: [В 2 Дц].

Автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция сигнала и (?) определяется следующим интегральным выражением:

где т - аргумент, определяющий функцию Я(х) и имеющий размерность времени; и(? + т) - исходный сигнал, сдвинутый во времени на величину -т.

Автокорреляционная функция имеет следующие свойства.

1. Значение автокорреляционной функции при сдвиге т = О равно энергии сигнала Е:

2. Автокорреляционная функция при сдвигах т Ф 0 меньше энергии сигнала:

3. Автокорреляционная функция является четной функцией, т.е.

В справедливости свойств 2 и 3 убедимся на примере.

Пример 2.6. Вычислить автокорреляционные функции сигналов: видеосигнала, представленного на рис. 2.7, я, и радиосигнала с теми же амплитудой и длительностью. Несущая частота радиосигнала равна щ, а начальная фаза равна 0.

Решение. Первую задачу решим графическим способом. Автокорреляционная функция определяется интегралом от произведения функции и (?) и ее смещенной во времени копии. Смещение видеосигнала найдем из уравнения? + т = 0. График функции м(? + т) приведен на рис. 2.7, б. Площадь, определяемая графиком произведения м(?)м(? + т) (рис. 2.7, в), равна

Функция Д(т) определяется уравнением прямой (рис. 2.7, г). Функция имеет максимум, если значение аргумента т = 0, и равна 0, если т = т и. Для других значений аргумента /?(т)

Чтобы убедиться в справедливости свойства 3, аналогично вычислим функцию для отрицательных значений т:

Рис. 2.7.

видеоимпульса:

а - прямоугольный видеоимпульс; б - задержанный во времени прямоугольный импульс; в - произведение импульсов; г - автокорреляционная функция

Окончательное выражение для автокорреляционной функции

Функция приведена на рис. 2.7, г и имеет треугольный вид.

Вычислим автокорреляционную функцию радиосигнала, расположив его симметрично относительно вертикальной оси. Радиосигнал:

Подставляя значения сигнала и его сдвинутой копии в формулу для автокорреляционной функции /?(т), получим

Выражение для автокорреляционной функции радиоимпульса состоит из двух слагаемых. Первое из них определяется произведением треугольной функции и гармонического сигнала. На выходе согласованного фильтра это слагаемое реализуется в виде ромбовидного радиоимпульса. Второе слагаемое определяется произведением треугольной функции и функций (втд^/лг, расположенных в точках т = +т и. Значения функций (втх)/:*:, которые оказывают заметное влияние на второе слагаемое автокорреляционной функции, весьма быстро убывают при изменении аргумента т от -т и до оо и от т и до -°о. Решив уравнение

можно найти интервалы задержки, в пределах которых значения функций (втлс)/;*; еще влияют на поведение функции /?(т). Для положительных значений задержки

где 7о - период гармонического сигнала.

Аналогично находится интервал для отрицательных значений задержки.

Поскольку влияние второго слагаемого автокорреляционной функции ограничивается весьма малыми (по сравнению с длительностью радиоимпульсов т и) интервалами 7о/2, в пределах которых значения треугольной функции весьма малы, то вторым слагаемым автокорреляционной функции радиоимпульса можно пренебречь.

Выявим связь автокорреляционной функции #(т) со спектральной плотностью энергии сигнала |5(/со)| 2 . Для этого выразим сдвинутый во времени сигнал и(1ь + т) через его спектральную плотность 5(/со):

Подставим данное выражение в выражение (2.21). В результате получим

Нетрудно убедиться также в справедливости равенства

Разделим обе части равенства (2.23) на интервал времени Т и устремим величину Т к бесконечности:

С учетом формулы (2.20) перепишем полученное выражение:

где
- предел отношения автокорреляционной функции ограниченного во времени сигнала к значению этого времени и при стремлении его к бесконечности. Если этот предел существует, то он определяется обратным преобразованием Фурье от спектральной плотности мощности сигнала.

Обобщением понятия «автокорреляционная функция» является взаимно корреляционная функция, которая представляет собой скалярное произведение двух сигналов:

Рассмотрим основные свойства взаимно корреляционной функции.

1. Перестановка сомножителей под знаком интеграла изменяет знак аргумента взаимно корреляционной функции:

В приведенных преобразованиях использована замена t + т = х.

• 2. Взаимно корреляционная функция, в отличие от автокорреляционной функции, не является четной относительно аргумента т.
• 3. Взаимно корреляционная функция определяется обратным преобразованием Фурье от произведения спектральных плотностей сигналов u(t), v(t) :

Эта формула может быть выведена аналогично формуле (2.22).

Взаимно корреляционная функция между периодически повторяющимся сигналом и непериодическим

сигналом v(t ) = Uq(?)

где R(t) - автокорреляционная функция непериодического сигнала u 0 (t).

Полученное выражение равно сумме двух интегралов. При сдвиге, равном нулю, первый интеграл равен нулю, а второй равен энергии сигнала. При сдвиге, равном периоду сигнала, первый интеграл равен энергии сигнала, а второй равен нулю. Каждое значение функции при других сдвигах равно сумме значений автокорреляционных функций непериодического сигнала, смещенных относительно друг друга на один период. Кроме того, взаимно корреляционная функция является периодической функцией, удовлетворяющей уравнению

Взаимно корреляционная функция Я ил> (т) между сигналом u(t ) и сигналом

равна - длительность сигнала v(t).

Действительно, вследствие того что период сигнала u(t ) равен Т и

взаимно корреляционная функция где

Вычисляя предел функции (2п + 1)7? м Мо (т) при п -> определим выражение для автокорреляционной функции периодического сигнала:

Размерность функции: [В 2 /Гц].

Значения функции при нулевом сдвиге и других сдвигах, для которых Лц Мо (т) Ф 0, равны бесконечности. По этой причине использование последнего выражения в качестве характеристики периодического сигнала теряет смысл.

Разделим последнее выражение на интервал, равный (2п + 1 )Т. В результате получим функцию

так как вследствие периодичности функции - т + Т) = - т).

Полученная формула определяет функцию В(т) как предел отношения автокорреляционной функции сигнала, существующего в интервале времени (2п + 1 )Т, к этому интервалу и стремлении его к бесконечности. Этот предел для периодически повторяющегося сигнала называется автокорреляционной функцией периодического сигнала. Размерность этой функции: [В 2 ].

Прямое преобразование Фурье одного периода автокорреляционной функции периодического сигнала определяет спектральную плотность мощности, которая является непрерывной функцией частоты. По этой плотности, используя формулу (2.17), можно найти спектральную плотность мощности периодической автокорреляционной функции сигнала , которая определяется для дискретных значений частот:

где 0)1 = 2п/Т.

Если автокорреляционная функция записана в виде ряда Фурье в тригонометрической форме, то выражение для ее спектральной плотности

Пример 2.7. Вычислить периодическую автокорреляционную функцию сигнала и(ф) = А бш СИ. По найденной функции, ограниченной одним периодом, определить спектральную плотность мощности.

Решение. Подставляя в выражение (2.26) заданный сигнал, получим выражение для периодической автокорреляционной функции:

Полученное выражение подставим в формулу (2.24) и найдем спектральную плотность мощности:

Пример 2.8. Для периодической нормированной автокорреляционной функции шумоподобного сигнала (М-последовательности с периодом N = 1023) вычислить спектральную плотность мощности. (Периодическая функция для последовательности меньшей длины (IV= 15) приведена на рис. 3.39.)

Решение. Для сравнительно большого периода ЛГ = 1023 значения автокорреляционной функции в интервале Т - То > т > То, где То - длительность импульса шумоподобной последовательности, примем равными нулю. В этом случае автокорреляционная функция определяется периодически повторяющейся с периодом Т последовательностью треугольных импульсов. Основание каждого треугольника равно 2то, а его высота равна 1. Уравнение, определяющее автокорреляционную функцию в пределах одного периода, равно В(т) = 1 - |т|/хо- Учитывая четность этой функции, определим коэффициенты ряда Фурье:

При вычислении интеграла использована формула

Подставляя вычисленные коэффициенты в формулу (2.27), ползшим

Спектральная плотность мощности периодической автокорреляционной функции равна взвешенной сумме бесконечно большого числа дельтафункций. Весовые множители определяются квадратом функции (этх)/:»:, умноженной на постоянный коэффициент 2я(то/Т).

Корреляционные функции цифровых сигналов связаны с корреляционными функциями последовательностей символов. Для кодовой последовательности (см. § 1.3) конечного числа N

двоичных символов автокорреляционная функция записывается в виде

где - двоичные символы, равные 0 или 1, или символы, равные -1, 1; д = О, 1, 2, ..., N - .

Последовательности символов могут быть как детерминированными, так и случайными. При передаче информации характерным свойством последовательности символов является их случайность. Значения автокорреляционной функции (при сдвигах, нс равных нулю), вычисленные по заранее записанной случайной последовательности конечной длины, также являются случайными.

Автокорреляционные функции детерминированных последовательностей, которые используются для синхронизации, а также в качестве носителей дискретных сообщений, являются детерминированными функциями.

Сигналы, построенные с использованием кодов или их кодовых последовательностей, называются кодированными сигналами.

Большинство свойств автокорреляционной функции кодовой последовательности совпадает с рассмотренными выше свойствами автокорреляционной функции сигнала.

При пулевом сдвиге автокорреляционная функция кодовой последовательности достигает максимума, который равен

Если символы равны -1, 1, то г(0) = N.

Значения автокорреляционной функции при других сдвигах меньше г(0).

Автокорреляционная функция кодовой последовательности является четной функцией.

Обобщением автокорреляционной функции является взаимно корреляционная функция. Для кодовых последовательностей одинаковой длины эта функция

где 2 } 0 6/, - символы соответственно первой и второй последовательности.

Многие свойства функции г 12 (д) совпадают со свойствами взаимно корреляционной функции рассмотренных выше сигналов. Если функция г^(д), I Ф для любой пары кода при сдвиге д = О равна нулю, то такие коды называются ортогональными. Краткое описание некоторых используемых в системах связи кодов приведено в приложениях 2-4.

Взаимно корреляционная функция между кодовой последовательностью и периодически повторяющейся той же последовательностью называется периодической автокорреляционной функцией кодовой последовательности. Выражение для функции следует из выражений (2.25), (2.26):

где г(д) - непериодическая автокорреляционная функция кодовой последовательности; д - значение сдвига между последовательностями.

Подставим в полученную формулу выражения автокорреляционных функций:

где а/г, а^+ц - элементы кодовой последовательности.

Периодическая автокорреляционная функция кодовой последовательности равна взаимно корреляционной функции, вычисленной для кодовой последовательности и циклически сдвинутых символов этой последовательности. Циклически сдвинутые кодовые последовательности, полученные по исходной последовательности а 0 = а 0 ,а { ,а 2 , ..., а м _ ь приведены ниже. Кодовая последовательность а { получена в результате сдвига исходной последовательности а 0 па один символ вправо и переноса последнего символа а дм в начало сдвинутой последовательности. Остальные последовательности получены аналогично:

Пример 2.9. Вычислить автокорреляционную и периодическую автокорреляционную функцию кодированного сигнала (рис. 2.8, а)

где и 0 (О - прямоугольный импульс с амплитудой А и длительностью т и.

Этот сигнал построен из прямоугольных импульсов, знак которых определяется весовыми коэффициентами: а 0 = ,а. = 1, а 2 = -1, а их число N = 3. Длительность сигнала равна Зт и.

Решение. Подставляя выражение для сигнала в формулу (2.21), получим

Произведем замену переменной t - кт н на х:

Обозначим: & - т = - и заменим дискретные переменные &, т на переменные к, ц. В результате получим

График автокорреляционной функции для заданного сигнала показан на рис. 2.8, б. Эта функция зависит от автокорреляционной функции /? 0 (т) прямоугольного импульса и значений автокорреляционной функции г(

Рис. 2.8. Автокорреляционная функция кодированного сигнала: а - кодированный сигнал; 6 - автокорреляционная функция сигнала; в - автокорреляционная функция периодического сигнала

Вычислим периодическую автокорреляционную функцию, используя рассчитанную выше автокорреляционную функцию, полученные значения автокорреляционной функции кодовой последовательности и формулу (2.28).

Периодическая автокорреляционная функция

Подставим заданное значение N = 3 в полученную формулу:

С учетом значений автокорреляционной функции кодовой последовательности К+З) = 0, г(+ 2) = -1, г(+1) = О, КО) = 3 запишем окончательное выражение для одного периода периодической автокорреляционной функции сигнала:

График функции приведен на рис. 2.8, в.

Пусть дан некоторый сигнал , который характеризует изменение напряжения или силы тока во времени. Тогда будет определять мгновенную мощность, выделяемую на сопротивлении 1 Ом.

Тогда средняя мощность сигнала на данном интервале времени равна:

Если сигнал является периодическим, то среднюю мощность можно получить путем усреднения на одном периоде повторения сигнала. В случае абсолютно-интегрируемого непериодического сигнала , интервал интегрирования может быть расширен на всю ось времени:

Можно заметить, что средняя мощность абсолютно-интегрируемого непериодического сигнала равна нулю при усреднении на бесконечном интервале времени. Аналогично, энергия периодического сигнала на всей оси времени равна бесконечности.

Таким образом, периодические сигналы, повторяющиеся на все оси времени мы можем характеризовать конечной средней мощностью , поскольку их энергия бесконечна. Непериодические сигналы характеризуются конечной энергией , потому что их средняя мощность на все оси времени равна нулю.

Выражения (1)-(3) справедливы и для комплексного сигнала . В этом случае, мгновенную мощность можно определить как .

Скалярное произведение сигналов. Обобщенная формула Рэлея

Пусть даны два сигнала и , в общем случае комплексные. Скалярным произведением сигналов называется величина равная:

Интеграл (4) возвращает одно число (скаляр), в общем случае комплексное.

Заметим, что скалярное произведение сигнала с самим собой возвращает энергию данного сигнала:

Тогда скалярное произведение (4) можно трактовать как величину взаимной энергии сигналов и , т.е. степень взаимного влияния одного сигнала на другой. Если два сигнала и имеют нулевое скалярное произведение, то говорят, что они ортогональны.

Подставим в (4) вместо обратное преобразование Фурье его спектральной плотности . Тогда:

Поменяем в (6) порядок интегрирования:

Можно сделать вывод: скалярное произведение сигналов во временно́й области, с точностью до множителя , равно скалярному произведению спектральных плотностей данных сигналов. Выражение (7) носит название обобщенной формулы Рэлея .

Равенство Парсеваля

Ранее мы уже рассматривали равенство Парсеваля, связывающее среднюю мощность периодического сигнала. Для непериодических сигналов мы можем получить аналогичное равенство энергии сигнала во времени и в частотной области. Для этого в обобщенную формулу Рэлея подставим и получим:

Или с учетом (4) равенство Парсеваля :

Таким образом, энергия сигнала во временно́й и частотной областях равна с точностью до множителя .

Если в выражениях (7)-(9) использовать частоту , выраженную в герц, вместо циклической частоты , измеряемой в единицах рад/c, то и множитель сокращается:

Спектральная плотность энергии сигнала

При рассмотрении предельного перехода к преобразованию Фурье было введено понятие спектральной плотности сигнала и была приведена аналогия поясняющая понятие спектральной плотности, и ее отличие от спектра периодического сигнала.

Из равенства (9) следует, что энергия сигнала может быть представлена как интеграл по всей оси частот:

Тогда использую ту же аналогию, что и в разделе, в частности сравнивая (12) с, можно заключить, что представляет собой спектральную плотность энергии сигнала. Проинтегрировав по всей оси , мы получим полную энергию сигнала, равно как проинтегрировав плотность стержня по длине мы получим полную массу. Спектральная плотность энергии представляет собой квадрат АЧХ сигнала. Кроме того является вещественной неотрицательной функцией частоты . Спектральная плотность энергии сигнала измеряется в единицах джоуль на герц (Дж/Гц) или ватт, умноженный на секунду в квадрате (Втс).

Сделаем важное замечание. Спектральная плотность энергии игнорирует ФЧХ сигнала. Тогда можно заключить, что одной и той же спектральной плотности энергии могут соответствовать множество различных сигналов, имеющих одинаковую АЧХ и различные ФЧХ.

Спектральные плотности сигналов имеют убывающий по частоте характер , и на практике анализ поведения убывающей спектральной плотности с ростом частоты имеет важное значение. Однако графический анализ бывает затруднителен ввиду высокой скорости убывания спектральной плотности по частоте, а в случае спектральной плотности энергии затруднителен вдвойне, поскольку возведение АЧХ в квадрат только ускоряет убывание. Поэтому широкое распространение получило представление спектральной плотности энергии в логарифмическом масштабе, выраженной в единицах децибел (дБ):

В качестве примера на рисунке 1 приведены спектральные плотности энергии прямоугольного, треугольного, двустороннего экспоненциального и гауссова импульсов в линейном и логарифмическом масштабе.

Рисунок 1. Спектральная плотность энергии некоторых сигналов
а — в линейном масштабе; б — в логарифмическом масштабе

Как видно из рисунка 1а, спектральные плотности энергии импульсов в линейном масштабе практически сливаются и очень сложно различимы.

Логарифмическая шкала представления спектральной плотности энергии оказывается удобной при сравнении характеристик сигналов. Если энергии двух сигналов отличаются в 100 раз, то в логарифмической шкале отношение их энергий составляет 20 дБ. Если же энергии отличаются в 1000000 раз, то в логарифмической шкале это соответствует 60 дБ. Удвоение энергии сигнала, в логарифмической шкале соответствует прибавлению 3 дБ.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели энергетические характеристики периодических и непериодических сигналов. Мы показали, что периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но конечную среднюю мощность. Средняя мощность непериодических сигналов стремится к нулю, а их энергия конечна.

Было введено понятие скалярного произведения сигналов и получена обобщенная формула Релея,связывающая скалярное произведение во временной и частотной областях.

Установлено равенство Парсеваля для непериодических сигналов, как частный случай формулы Релея.

Введено понятие спектральной плотности энергии как квадрата модуля спектральной плотности сигнала. Также рассмотрено представление спектральной плотности энергии в линейном и логарифмическом масштабе для различных сигналов.

Смотри также

Список литературы

Баскаков, С.И. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

Международная образовательная корпорация

Факультет Прикладных Наук

Реферат

на тему «Спектр плотности мощности и его связь с функцией корреляции»

По дисциплине «Теория электрической связи»

Выполнила: студент группы

ФПН-РЭиТ(з)-4С *

Джумагельдин Д

Проверила: Глухова Н.В

Алматы, 2015

І Введение

ІІ Основная часть

1. Спектральная плотность мощности

1.1 Случайные величины

1.2 Плотность вероятности функции от случайной величины

2. Случайный процесс

3. Метод определения спектральной плотности мощности по корреляционной функции

ІІІ Заключение

ІV Список использованной литературы

Введение

Теория вероятностей рассматривает случайные величины и их характеристики в "статике". Задачи описания и изучения случайных сигналов "в динамике", как отображения случайных явлений, развивающихся во времени или по любой другой переменной, решает теория случайных процессов.

В качестве универсальной координаты для распределения случайных величин по независимой переменной будем использовать, как правило, переменную "t" и трактовать ее, чисто для удобства, как временную координату. Распределения случайных величин во времени, а равно и сигналов их отображающих в любой математической форме, обычно называют случайными процессами. В технической литературе термины "случайный сигнал" и "случайный процесс" используются как синонимы.

В процессе обработки и анализа физико-технических данных обычно приходится иметь дело с тремя типами сигналов, описываемых методами статистики. Во-первых, это информационные сигналы, отображающие физические процессы, вероятностные по своей природе, как, например, акты регистрации частиц ионизирующих излучения при распаде радионуклидов. Во вторых, информационные сигналы, зависимые от определенных параметров физических процессов или объектов, значения которых заранее неизвестны, и которые обычно подлежать определению по данным информационным сигналам. И в третьих, это шумы и помехи, хаотически изменяющиеся во времени, которые сопутствуют информационным сигналам, но, как правило, статистически независимы от них как по своим значениям, так и по изменениям во времени.

Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность мощности позволяет судить о частотных свойствах случайного процесса. Она характеризует его интенсивность при различных частотах или, иначе, среднюю мощность, приходящуюся на единицу полосы частот.

Картину распределения средней мощности по частотам называют спектром мощности. Прибор, при помощи которого измеряется спектр мощности, называется анализатором спектра. Найденный в результате измерений спектр называется аппаратным спектром.

Работа анализатора спектра основана на следующих методах измерений:

· методе фильтрации;

· методе преобразования по теореме Винера-Хинчена;

· методе Фурье-преобразования;

· методе с использованием знаковых функций;

· методе аппаратного применения ортогональных функций.

Особенность измерения спектра мощности состоит в значительной продолжительности эксперимента. Нередко она превышает длительность существования реализации, или время, в течение которого сохраняется стационарность исследуемого процесса. Оценки спектра мощности, получаемые по одной реализации стационарного эргодического процесса, не всегда приемлемы. Часто приходится выполнять многочисленные измерения, так как необходимо усреднение реализаций как по времени, так и по ансамблю. Во многих случаях реализации исследуемых случайных процессов предварительно запоминают, что позволяет многократно повторять эксперимент с изменением продолжительности анализа, использованием различных алгоритмов обработки и аппаратуры.

В случае предварительной записи реализаций случайного процесса аппаратурные погрешности могут быть уменьшены до значений, обусловленных конечной длительностью реализации и нестационарностью.

Запоминание анализируемых реализаций позволяет ускорить аппаратурный анализ и автоматизировать его.

Случайные величины

Случайная величина описывается вероятностными законами. Вероятность того, что непрерывная величина х при измерении попадет в какой-либо интервал х 1 <х <х 2 , определяется выражением:

, где p(x) - плотность вероятности, причем . Для дискретной случайной величины х i P(x = x i)=P i , где P i - вероятность, соответствующая i-у уровню величины х.

Взаимная спектральная плотность мощности(взаимный спектр мощности) двух реализаций и стационарных эргодических случайных процессов и определяется как прямое преобразование Фурье над их взаимной ковариационной функцией

или, с учетом соотношения между круговой и циклической частотами ,

Обратное преобразование Фурье связывает взаимные ковариационную функцию и спектральную плотность мощности:

Аналогично (1.32), (1.33) вводится спектральная плотность мощности(спектр мощности) случайного процесса

Функция обладает свойством четности:

Для взаимной спектральной плотности справедливо следующее соотношение:

где – функция, комплексно сопряженная к .

Введенные выше формулы для спектральных плотностей определены как для положительных, так и для отрицательных частот и носят название двухсторонних спектральных плотностей . Они удобны при аналитическом изучении систем и сигналов. На практике же пользуются спектральными плотностями, определенными только для неотрицательных частот и называемыми односторонними (рисунок 1.14):

Рисунок 1.14 – Односторонняя и двусторонняя

спектральные плотности

Выведем выражение, связывающее одностороннюю спектральную плотность стационарного СП с его ковариационной функцией:

Учтем свойство четности для ковариационной функции стационарного СП и функции косинус, свойство нечетности для функции синус, а также симметричность пределов интегрирования. В результате второй интеграл в полученном выше выражении обращается в нуль, а в первом интеграле можно сократить вдвое пределы интегрирования, удвоив при этом коэффициент:

Очевидно, что спектральная плотность мощности случайного процесса является действительной функцией.

Аналогично можно получить обратное соотношение:

Из выражения (1.42) при следует, что

Это означает, что общая площадь под графиком односторонней спектральной плотности равна среднему квадрату случайного процесса. Другими словами, односторонняя спектральная плотность интерпретируется как распределение среднего квадрата процесса по частотам.

Площадь под графиком односторонней плотности, заключенная между двумя произвольными значениями частоты и , равна среднему квадрату процесса в этой полосе частот спектра (рисунок 1.15):

Рисунок 1.15 – Свойство спектральной плотности

Взаимная спектральная плотность мощности является комплексной величиной, поэтому ее можно представить в показательной форме записи через модуль и фазовый угол :

где – модуль;

– фазовый угол;

, – действительная и мнимая части функции соответственно.

Модуль взаимной спектральной плотности входит в важное неравенство

Это неравенство позволяет определить функцию когерентности (квадрат когерентности), которая аналогична квадрату нормированной корреляционной функции:

Второй способ введения спектральных плотностей состоит в непосредственном преобразовании Фурье случайных процессов.

Пусть и – два стационарных эргодических случайных процесса, для которых финитные преобразования Фурье -х реализаций длины определяют в виде

Двусторонняя взаимная спектральная плотность этих случайных процессов вводится с использованием произведения через соотношение

где оператор математического ожидания означает операцию усреднения по индексу .

Расчет двусторонней спектральной плотности случайного процесса осуществляют по соотношению

Аналогично вводятся и односторонние спектральные плотности:

Функции , определенные формулами (1.49), (1.50), идентичны соответствующим функциям, определенным соотношениями (1.32), (1.33) как преобразования Фурье над ковариационными функциями. Это утверждение носит называние теоремы Винера-Хинчина.

Контрольные вопросы

1. Приведите классификацию детерминированных процессов.

2. В чем отличие между полигармоническими и почти периодическими процессами?

3. Сформулируйте определение стационарного случайного процесса.

4. Какой способ усреднения характеристик эргодического случайного процесса предпочтителен – усреднение по ансамблю выборочных функций или усреднение по времени наблюдения одной реализации?

5. Сформулируйте определение плотности распределения вероятности случайного процесса.

6. Запишите выражение, связывающее корреляционную и ковариационную функции стационарного случайного процесса.

7. В каком случае два случайных процесса считаются некоррелированными?

8. Укажите способы расчета среднего квадрата стационарного случайного процесса.

9. Каким преобразованием связаны спектральная плотность и ковариационная функции случайного процесса?

10. В каких пределах изменяются значения функции когерентности двух случайных процессов?

Литература

1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – М: Питер, 2002.– 604 с.

2. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с.

3. Бендат, Д. Применение корреляционного и спектрального анализа / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1983. – 312 с.

4. Бендат, Д. Измерение и анализ случайных процессов / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1974. – 464 с.

Оценка спектральной плотности мощности представляет известную проблему для случайных процессов. Примерами случайных процессов может служить шум, а также сигналы, несущие информацию. Обычно требуется найти статистически устойчивую оценку. Анализ сигналов подробно рассматривается в курсе «Цифровая обработка сигналов» . Начальные сведения изложены в .

Для сигналов с известными статистическими характеристиками спектральный состав может быть определен по конечному интервалу этого сигнала. При неизвестности статистических характеристик сигнала по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра. Разные методы использую различные допущения, и поэтому дают различные оценки.

При выборе оценки исходят из того, что в общем случае анализируемый сигнал представляет собой случайный процесс. И требуется выбрать несмещенную оценку, обладающую малой дисперсией, позволяющую усреднить спектр сигнала. Смещением называют разницу между средним значением оценки и истинным значением величины. Несмещенной оценкой называют оценку с нулевым смещением. Оценка с малой дисперсией хорошо локализует искомые величины, т.е. плотность вероятности сконцентрирована около среднего значения. Желательно иметь состоятельную оценку, т.е. оценку, которая при увеличении размера выборки стремится к истинному значению (смещение и дисперсия стремятся к нулю). Различают оценки параметрические, использующие только информацию о самом сигнале и непараметрические, использующие статистическую модель случайного сигнала, и осуществляющие подбор параметров этой модели.

При оценках случайных процессов распространено использование корреляционных функций.

Для эргодичного процесса возможно определение статистических параметров процесса путем усреднения по одной реализации.

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция R x (t) зависит от интервала времени, для которого она определяется. Эта величина характеризует связь между значениями x(t), разделенными промежутком t. Чем медленнее убывает R(t), тем больше промежуток, в течение которого наблюдается статистическая связь между значениями случайного процесса.

где - математическое ожидание x(t).

Соотношение между корреляционной функцией R(t) и спектральной плотностью мощности W(w) для случайного процесса определяется теоремой Винера-Хинчина

Для дискретных процессов теорема Винера-Хинчина устанавливает связь между спектром дискретного случайного процесса W(w) и его корреляционной функции R x (n)

W(w)= R x (n)·exp(-j·w·n·T)

Для оценки энергии сигнала во временной и частотной областях используется равенство Парсеваля

Одним из распространенных способов получения оценки спектральной плотности является применение метода периодограмм.

Периодограмма (Periodogram) .В этом методе производится дискретное преобразование Фурье для сигнала x(n), заданного в дискретных точках выборки длиной N отсчетов и его статистическое усреднение. Фактическое вычисление спектра X(k), выполняется только в конечном количестве частотных точек N. Применяется быстрое преобразование Фурье (FFT). Вычисляется спектральная плотность мощности, приходящаяся на один отсчет выборки:

P xx (X k)=|X(k)| 2 /N, X(k)= , k=0,1,…,N-1.

Для получения статистически устойчивой оценки, имеющиеся данные разбивают на перекрывающиеся выборки, с последующим усреднением спектров, полученных по каждой выборке. Задается число отсчетов на выборку N и сдвиг начала каждой последующей выборки относительно начала предыдущей N t . Чем меньше число отсчетов в выборке, тем больше выборок и меньшая дисперсия у оценок. Но поскольку длина выборки N связана с частотным разрешением (2.4), то уменьшение длины выборки ведет к уменьшению частотного разрешения.

Таким образом, сигнал просматривается через окно, а данные, не попадающие в окно, принимаются равными нулю. Конечный сигнал x(n) состоящий из N отсчетов, обычно представляют как результат умножения бесконечного по времени сигнала (n) на прямоугольное окно с конечной длиной w R (n):

x(n) = (n) ∙w R (n),

а непрерывный спектр X N (f) наблюдаемых сигналов x(n) определится как свертка Фурье-образов X(f), W R (f) бесконечного по времени сигнала (n) ∙и окна w R (n)

X N (f)=X(f)*W R (f)=

Спектр непрерывного прямоугольного окна (rect) имеет форму интегрального синуса sinc(x)=sin(x)/x. Он содержит главный «лепесток» и несколько боковых, из которых самый большой приблизительно на 13 dB ниже основного пика (см. рис.15).

Фурье-образ (спектр) дискретной последовательности, получаемой N-точечной дискретизацией непрерывного прямоугольного окна, показан на рис.32. Он может быть вычислен суммированием смещенных интегральных синусов (2.9), в результате получается ядро Дирихле

Рис. 32. Спектр дискретного прямоугольного окна

В то время как сигнал с бесконечной длиной сконцентрирует его мощность точно в дискретной частоте f k , прямоугольная выборка сигнала имеет распределенный спектр мощности. Чем короче выборка, тем более распределенный спектр.

При спектральном анализе производится взвешивание данных с помощью оконных функций, чем добиваются уменьшения влияния боковых «лепестков» на спектральные оценки.

Чтобы обнаружить две гармоники f 1 и f 2 с близкими частотами, необходимо, чтобы для временного окна T ширина главного «лепестка» Df -3 ≈ Df L =0 =1/Т, определяемая на значении -3дБ, была меньше разности искомых частот

Df=f 1 -f 2 > Df -3

Ширина временного окна Т связана с частотой дискретизацией f s и числом отсчетов выборки формулой (2.4).

Инструментальные средства гармонического анализа . Для исследования сигналов очень удобно применение пакета MATLAB, в частности, его приложения (Toolbox) Signal Processing.

Модифицированные периодограммы используют непрямоугольные оконные функции, уменьшающие эффект Гиббса. Примером может служить использование окна Хэмминга (Hamming). Но при этом одновременно происходит примерно вдвое увеличение ширины главного лепестка спектрограммы. Несколько более оптимизировано окно Кайзера (Kaiser). Увеличение ширины главных лепестков при создании фильтров нижних частот ведет к увеличению переходной полосы (между полосами пропускания и задержания).

Оценочная функция Уэлча (Welch) . Метод состоит из деления последовательных данных времени в сегменты (возможно с перекрытием), далее обрабатывается каждый сегмент, а затем оценивают спектр путем усреднения результатов обработки сегментов. Для улучшения оценки могут использоваться непрямоугольные оконные функции, например окно Хэмминга. Увеличение числа сегментов уменьшает дисперсию, но при этом уменьшается разрешение метода по частоте. Метод дает неплохие результаты при малом превышении полезного сигнала над шумом и достаточно часто используется на практике.

На рис.33 приведены оценки гармонического состава для данных, содержащих узкополосые полезные сигналы и белый шум, при различных выборках (N=100, N=67), и использовании различных методов.

Рис. 33. Оценка гармоник сигнала для 1024 точечного FFT-преобразования

Параметрические методы используют авторегрессионные модели (AR). В методах строятся модели фильтров и с их помощью оценивают спектры сигналов. Все методы при наличии шума в сигнале дают смещенные оценки. Предназначены методы для обработки сигналов имеющих гармонические составляющие на фоне шума. Порядок метода (фильтра) задается в два раза больше, чем число гармоник, присутствующих в сигнале. Предложено несколько параметрических методов .

Метод Берга (Burg) дает высокую разрешающую способность по частоте для коротких выборок. При большом порядке фильтра спектральные пики расщепляются. Положение спектральных пиков зависит от начальных фаз гармонических.

Ковариационный (covariance) метод позволяет оценить спектр сигнала, содержащего сумму гармонических компонентов.

Метод Юла-Уоркера (Yule-Walker) дает хорошие результаты на длинных выборках и не рекомендуется для коротких выборок.

Корреляционные методы . Методы MISIC (Multiple Signal Classification) и EV (eigenvectors) выдают результаты в форме псевдоспектра. В основе методов лежит анализ векторов корреляционной матрицы сигнала. Эти методы дают несколько лучшее разрешение по частоте, чем автокорреляционные методы.