Временные характеристики линейных цепей. Временные характеристики цепи

Задача 1

Импульсная характеристика

Задача 2

Импульсная характеристика

Задача 3 Определить переходные и импульсные характеристики цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R и C.

2. Найдем значение реакции на элементах С и R.

3.Передаточная функция в операторной форме:

4. Изображение импульсных характеристик находим по соотношению:

Допустим, что к цепи приложено ступенчатое воздействие, изображение которого является функция

Осуществляя L-преобразование выражения (7), т.е. найдем L-изображение переходной характеристики. В силу свойства линейности

Если же на цепь подается импульсное воздействие, изображение которого равно, то операторная передаточная функция,

Отсюда

Приведенные в предыдущем параграфе выражения (5.17), (5.18) для коэффициентов усиления можно трактовать как передаточные функции линейного активного четырехполюсника. Характер этих функций определяется частотными свойствами параметров Y.

Записав в виде функций , приходим к понятию передаточная функция линейного активного четырехполюсника . Безразмерная в общем случае комплексная функция является исчерпывающей характеристикой четырехполюсника в частотной области. Она определяется в стационарном режиме при гармоническом возбуже-нии четырехполюсника.

Передаточную функцию часто удобно представлять в форме

Модуль иногда называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) четырехполюсника. Аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) четырехполюсника.

Другой исчерпывающей характеристикой четырехполюсника является его импульсная характеристика , которая используется для описания цепи во временной области.

Для активных линейных цепей, как и для пассивных, под импульсной характеристикой цепи подразумевается отклик, реакция цепи на воздействие, имеющее вид единичного импульса (дельта-функции). Связь между нетрудно установить с помощью интеграла Фурье.

Если на входе четырехполюсника действует единичный импульс (дельтафункция) ЭДС со спектральной плотностью, равной единице для всех частот, то спектральная плотность выходного напряжения равна просто . Отклик на единичный импульс, т. е. импульсная характеристика цепи, легко определяется с помощью обратного преобразования Фурье, примененного к передаточной функции :

При этом необходимо учитывать, что перед правой частью этого равенства имеется множитель 1 с размерностью площади дельта-функции. В частном случае, когда имеется в виду б-импульс напряжения, эта размерность будет [вольт х секунда].

Соответственно функция является преобразованием Фурье импульсной характеристики:

В данном случае перед интегралом имеется в виду множитель единица с размерностью [вольт х секунда]^-1.

В дальнейшем импульсную характеристику будем обозначать функцией , под которой можно подразумевать не только напряжение, но и любую другую электрическую величину, являющуюся откликом на воздействие в виде дельта-функции.

Как и при представлении сигналов на плоскости комплексной частоты (см. § 2.14), в теории цепей широко распространено понятие передаточной функции рассматриваемой как преобразование Лапласа от функции 8

Временной характеристикой цепи называется функция вре­мени, значения которой численно определяются реакцией цепи на типовое воздействие. Реакция цепи на заданное типовое воздей­ствие зависит лишь от схемы цепи и параметров ее элементов и, следовательно, может служить ее характеристикой. Временные характеристики определяют для линейных цепей, не содержащих независимых источников энергии, и при нулевых начальных усло­виях. Временные характеристики зависят от вида заданного типо­вого воздействия. Всвязи с этим их делят на две группы: переход­ные и импульсные временные характеристики.

Переходная характеристика, или переходная функция, опреде­ляется реакцией цепи на воздействие единичной ступенчатой функ­ции. Она имеет несколько разновидностей (табл. 14.1).

Если воздействие задано в виде единичного скачка напряже­ния и реакцией является также напряжение, то переходная харак­теристика оказывается безразмерной, численно равной напряже­нию на выходе цепи и называется переходной функцией или ко­эффициентом передачи K U (t) по напряжению. Если же выходной величиной служит ток, то переходная характеристика имеет раз­мерность проводимости, численно равна этому току и называется переходной проводимостью Y(t). Аналогично при воздействии в виде тока и реакции в виде напряжения переходная функция имеет размерность сопротивления и называется переходным сопро­тивлением Z(t). Если же при этом выходной величиной является ток, то переходная характеристика безразмерна и называется переходной функцией или коэффициентом передачи K I (t) no току.

В общем случае переходную характеристику любого вида обо­значают через h(t). Переходные характеристики легко опреде­ляются расчетом реакции цепи на единичное ступенчатое воздей­ствие, т. е. расчетом переходного процесса при включении цепи на постоянное напряжение 1 В или на постоянный ток 1 А.

Пример 14.2.

Найти временные перехо дные характеристики простой rC-цепи (рис. 14.9, а), если во здействиями являются напряжения.

1. Для определения переходных характеристик рассчитаем переходный про­цесс при поступлении на вход цепи напряжения u(t) - 1 (t). Этому соответствует включение цепи в момент t=0 на источник постоянной э. д. с. е 0 =1 В (рис. 14.9,6). При этом:

а) ток в цепи определяется выражением

поэтому переходной проводимостью является

б) напряжение на емкости

поэтому переходная функция по напряжению

Импульсная характеристика, или импульсная переходная функ­ция, определяется реакцией цепи на воздействие δ(t)-функции. Как и переходная характеристика, она имеет несколько разновид­ностей, определяемых видом воздействия и реакции - напряже­нием или током. B общем случае импульсную характеристику обозначают через a(t).

Установим связь между импульсной характеристикой и пере­ходной характеристикой линейной цепи. Для этого определим сначала реакцию цепи на импульсное воздействие малой длитель­ности t И =Δt, представив его наложением двух ступенчатых функций:

B соответствии с принципом наложения реакция цепи на такое воздействие определяется с помощью переходных характеристик:

При малых Δt можно записать

где S и =U m Δƒ - площадь импульса.

При Δt 0 и U m полученное выражение описывает ре­акцию цепи на δ(t)-функцию, т. е, определяет импульсную харак­теристику цепи:

С учетом этого реакция линейной цепи на импульсное воздей­ствие малой длительности может быть найдена как произведение импульсной функции на площадь импульса:

Это равенство лежит в основе экспериментального определения импульсной функции. Оно тем точнее, чем меньше длительность импульса.

Таким образом, импульсная характеристика представляет про­изводную от переходной характеристики:

Здесь учтено, что h(t)δ(t)=h(0)δ(t), а умножение h(t) на l(t) эквивалентно указанию на то, что значение функции h(t) при t<0 равно нулю.

Интегрируя полученные выражения, легко убедиться, что

Равенства (14.17) и (14.19) являются следствием ра­венств (14.14) и (14.15). Так как импульсные харак­теристики имеют размерность соответствующей переходной харак­теристики, поделенной на время. Для расчета импульсной харак­теристики можно воспользоваться выражением (14.19), т. е. рас­считать ее с помощью переходной характеристики.

Пример 14.3.

Найти импульсные характеристики простой rC-цепи (см. рис. 14.9, а). Решение.

Используя выражения для переходных характеристик, полученные в при­мере 14.2, с помо щью выражения (14.19) находим импульсные характеристики;

Временные характеристики типовых звеньев приведены в табл. 14.2.

Расчет временных характеристик обычно производится в сле­дующем порядке:

определяются точки приложения внешнего воздействия и его вид (ток или напряжение), а также интересующая выходная ве­личина - реакция цепи (ток или напряжение на каком-то ее участке); нужная временная характеристика рассчитывается как реак­ция цепи на соответствующее типовое воздействие: 1(t) или δ(t),

1. ЗАДАНИЕ

Схема исследуемой цепи [рис. 1] №22, в соответствии с вариантом задания 22 - 13 - 5 - 4. Параметры элементов цепи: L = 2 мГн, R = 2кОм, C = 0,5 нФ.

Внешнее воздействие задано функцией: , где а вычисляется по формуле (1) и равно .

Рисунок 1. Электрическая схема заданной цепи

Необходимо определить:

а) выражение для первичных параметров заданного четырехполюсника в виде функции частоты;

б) комплексный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах ;

в) амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики коэффициента передачи по напряжению;

г) операторный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах ;

д) переходную характеристику цепи ;

е) импульсную характеристику цепи ;

ж) отклик цепи на заданное входное воздействие при отключенной нагрузке.

2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

.1 Определение первичных параметров четырехполюсника

Для определения Z - параметров четырехполюсника составим уравнения электрического равновесия цепи по методу контурных токов используя комплексную схему замещения цепи [рис. 2]:

Рисунок 2. Комплексная схема замещения заданной электрической цепи

Выбирая направление обхода контуров, как указано на [рис. 2], и учитывая, что

запишем контурные уравнения цепи:

Подставим в полученные уравнения значения и :

(2)

Полученные уравнения (2) содержат только токи и напряжения на входных и выходных зажимах четырехполюсника и могут быть преобразованы к стандартному виду записи основных уравнений четырехполюсника в форме Z:

(3)

Преобразуя уравнения (2) к виду (3), получим:

Сравнивая полученные уравнения с уравнениями (3), получаем:

четырехполюсник напряжение холостой амплитудный

2.2 Определение коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе

Комплексный коэффициент передачи по напряжению от зажимов к зажимам в режиме холостого хода () на выходе найдем, используя полученные в пункте 2.1 выражения для первичных параметров:

2.3 Определение амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик коэффициента передачи по напряжению

Рассмотрим полученное выражение для как отношение двух комплексных чисел, находим выражение для АЧХ и ФЧХ.

АЧХ будет иметь вид:

Из формулы (4) следует, что ФЧХ будет иметь вид:

Где, рад/с находится из уравнения

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на следующей странице. [рис.3, рис.4]

Рисунок 3 . Амплитудно-частотная характеристика

Рисунок 4. Фазочастотная характеристика

Предельные значения и при для контроля вычислений полезно определить, не прибегая к расчетным формулам:

· учитывая, что сопротивление индуктивности при постоянном токе равно нулю, а сопротивление емкости бесконечно велико, в схеме [см. рис1] можно разорвать ветвь, содержащую емкость, и заменить индуктивность перемычкой. В полученной схеме и , т.к входное напряжение совпадает по фазе с напряжением на зажимах ;

· на бесконечно большой частоте ветвь, содержащую индуктивность, можно разорвать, т.к. сопротивление индуктивности стремится к бесконечности. Не смотря на то, что сопротивление емкости стремится к нулю, ее нельзя заменить перемычкой, так как напряжение на емкости является откликом. В полученной схеме [см. рис.5], при , , входной ток опережает по фазе входное напряжение на , а напряжение выходе совпадает по фазе с напряжением на входе, поэтому .

Рисунок 5. Электрическая схема заданной цепи при .

2.4 Определение операторный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах

Операторная схема замещения цепи по внешнему виду не отличается от комплексной схемы замещения [рис.2], так как анализ электрической цепи проводится при нулевых начальных условиях. В этом случае для получения операторного коэффициента передачи по напряжению достаточно в выражении для комплексного коэффициента передачи заменить оператором :

Преобразуем последнее выражение так, чтобы коэффициенты при старших степенях в числителе и знаменателе были равны единице:

Функция имеет два комплексно-сопряженных полюса: ; и один вещественный нуль: .

Рисунок 6. Полюсно-нулевая диаграмма функции

Полюсно-нулевая диаграмма функции приведена на рис.6. Переходные процессы в цепи имеют колебательный затухающий характер.

2.5 Определение переходной и импульсной характеристик цепи

Операторное выражение позволяет получить изображения переходной и импульсной характеристик. Переходную характеристику удобно определять, используя связь между изображением по Лапласу переходной характеристики и операторным коэффициентом передачи:

(5)

Импульсная характеристика цепи может быть получена из соотношений:

(6)

(7)

Используя формулы (5) и (6), запишем выражения изображений импульсной и переходной характеристик:

Преобразуем изображения переходной и импульсной характеристик к виду, удобному для определения оригиналов временных характеристик с помощью таблиц преобразований Лапласа:

(8)

(9)

Таким образом, все изображения сведены к следующим операторным функциям, оригиналы которых приведены в таблицах преобразований Лапласа:

(12)

Учитывая, что для данного рассматриваемого случая , , , найдем значения постоянных для выражения (11) и значения постоянных для выражения (12).

Для выражения (11):

И для выражения (12):

Подставляя полученные значения в выражения (11) и (12), получим:

После преобразований получаем окончательные выражения для временных характеристик:

Переходной процесс в данной цепи заканчивается после коммутации за время , где - определяется как обратная величина к абсолютной минимальной величине вещественной части полюса . Так как , то время затухания равно (6 - 10) мкс. Соответственно, выбираем интервал расчета численных значений временных характеристик . Графики переходной и импульсной характеристик приведены на рис.7 и 8.

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи к входным зажимам независимый источник напряжения . Переходная характеристика цепи численно совпадает с напряжением на выходных зажимах при воздействии на цепь единичного скачка напряжения при нулевых начальных условиях. В первоначальный момент времени после коммутации напряжение на емкости равно нулю, так как по законам коммутации при конечном значении амплитуды скачка напряжение на емкости скачком измениться не может. Следовательно, , то есть . При напряжение на входе можно считать постоянным и равным 1В, то есть . В цепи, соответственно, могут протекать только постоянные токи, поэтому емкость можно заменить разрывом, а индуктивность перемычкой, следовательно в преобразованной таким образом цепи , то есть . Переход от начального состояния к установившемуся происходит в колебательном режиме, что объясняется процессом периодического обмена энергией между индуктивностью и емкостью. Затухание колебаний происходит из-за потерь энергии на сопротивлении R.

Рисунок 7. Переходная характеристика .

Рисунок 8. Импульсная характеристика .

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения . В течении действия единичного импульса емкость заряжается до своего максимального значения, а напряжение на емкости становится равным

.

При источник напряжения может быть заменен короткозамкнутой перемычкой, а в цепи возникает затухающий колебательный процесс обмена энергией между индуктивностью и емкостью. На начальном этапе емкость разряжается, ток емкости плавно уменьшается до 0, а ток индуктивности растет до своего максимального значения при . Затем ток индуктивности, плавно уменьшаясь, перезаряжает емкость в противоположном направлении и т.д. При вследствие рассеяния энергии в сопротивлении все токи и напряжения цепи стремятся к нулю. Таким образом, затухающий с течением времени колебательный характер напряжения на емкости и объясняет вид импульсной характеристики, причем и .

Корректность расчета импульсной характеристики подтверждается качественно тем, что график на рис.8 переходит через 0 в те моменты времени, когда график на рис.7 имеет локальные экстремумы, а максимумы совпадают по времени с точками перегиба графика . А также корректность расчетов подтверждается тем, что графики и , в соответствии с формулой (7), совпадают. Для проверки правильности нахождения переходной характеристики цепи найдем эту характеристику при воздействии на цепь единичного скачка напряжения классическим методом:

Найдем независимые начальные условия ():

Найдем зависимые начальные условия ():

Для этого обратимся к рис.9, на котором изображена схема цепи в момент времени , тогда получим:

Рисунок 9. Схема цепи в момент времени

Найдем принужденную составляющую отклика:

Для этого обратимся к рис.10, на котором изображена схема цепи при после коммутации. Тогда получаем, что

Рисунок 10. Схема цепи при .

Составим дифференциальное уравнение:

Для этого сначала запишем уравнение баланса токов в узле по первому закону Кирхгофа и запишем некоторые уравнения на основании второго законов Кирхгоффа:

Используя компонентные уравнения преобразуем первое уравнение:

Выразим все неизвестные напряжения через :

Теперь дифференцируя и преобразуя получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

Подставим известные константы и получим:

5. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
к нулю. Постоянная времени и квазипериод колебания временных характеристик совпадают с результатами, полученными из анализа операторного коэффициента передачи; АЧХ рассматриваемой цепи близка к АЧХ идеального фильтра нижних частот с граничной частотой .

Список использованной литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов - 4-ое изд., испр. - М.: Высш. шк., 2003. - 575с.: ил.

Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1973, 832 с.